复数的平方怎么算在数学中，复数是由实部和虚部组成的数，通常表示为 $ a + bi $，其中 $ a $ 和 $ b $ 是实数，$ i $ 是虚数单位，满足 $ i^2 = -1 $。计算复数的平方是常见的运算，掌握其技巧有助于领会复数的代数性质。
一、复数平方的基本技巧
对于任意复数 $ z = a + bi $，其平方可以通过展开公式进行计算：
$$
z^2 = (a + bi)^2 = a^2 + 2abi + (bi)^2 = a^2 + 2abi – b^2
$$
整理后可得：
$$
z^2 = (a^2 – b^2) + 2abi
$$
因此，复数的平方可以分解为实部和虚部两部分：
– 实部：$ a^2 – b^2 $
– 虚部：$ 2ab $
二、示例说明
下面内容是一些常见复数的平方计算示例：
| 复数 $ z = a + bi $ | 平方 $ z^2 $ | 实部 $ \textRe}(z^2) $ | 虚部 $ \textIm}(z^2) $ |
| $ 1 + i $ | $ (1 + i)^2 = 2i $ | 0 | 2 |
| $ 2 + 3i $ | $ (2 + 3i)^2 = -5 + 12i $ | -5 | 12 |
| $ -1 + 2i $ | $ (-1 + 2i)^2 = -3 – 4i $ | -3 | -4 |
| $ 0 + 5i $ | $ (0 + 5i)^2 = -25 $ | -25 | 0 |
| $ 3 + 0i $ | $ (3 + 0i)^2 = 9 $ | 9 | 0 |
三、拓展资料
复数的平方计算本质上一个代数展开经过，通过公式 $ (a + bi)^2 = a^2 – b^2 + 2abi $ 可以快速得到结局。实际应用中，只需分别计算实部和虚部即可。
掌握这一技巧不仅有助于解决复数相关的数学难题，也为后续进修复数的模、幅角、极坐标形式等打下基础。
